子供の落書き帳 Remix

15/4/13:ひと月に一度更新するブログになってしまっている

院試1日目(共通数学)
2010/08/31(火) 23:47:35

院試の記録なぞ。
正確に述べると「東京大学大学院 情報理工学系研究科 数理情報学専攻」の入学試験です。
うわ長い。俺自身も大学院のホームページ見ながら書いたよ。

8月23日。共通数学。3問を150分。
パッと見た感想は
1……行列の固有値とか固有ベクトルとか。6×6がキツそう。
2……微分方程式。指示に従って進めていけばいいのかな。
3……確率論。まさかのランダムウォークか!

確率・統計は苦手だったので直前に結構対策してた。
どうも確率が一番取っ付きやすそうなので、まさかの確率から開始。
いや、苦手な確率は後回しにするだろうと踏んでいたのに、他がなかなか重そうな問題だったので……

3。(1)(2)は定義知ってますかって話だった気がする。
(3)は「確率事象XとYが独立⇔確率密度関数がf(x)f(y)と積の形に書ける」
と「XとYが独立⇒任意の関数g,hに対してg(X)とh(Y)も独立」から即座に示せると思ったのだが、
どこまで既知として良いのか悩んだ。
結局偶奇で場合分けして証明。±1だから2乗すればどうせ1になるのだ。
(4)は取りうる値が3つしか無いので定義通りに計算した。
(5)は受験10日前の俺なら「えっ4次モーメント!?どうやんのよこれ!?」と言っていたはずだが
勉強してきたので問題なく出せる。
積率母関数(モーメント母関数)を出し、4回微分。0を代入して原点周りの4次モーメント。
(4)の結果に代入しても一致。大丈夫だろう。

ここまで40分で気を良くしながら2に取り掛かる。
何だか見たことのない2階微分方程式だったけど、細かいことを気にせず指示に素直に従っていけば
そのまま答えに辿りつける問題。
最終的には(3)の変数分離形方程式が解ければ解が出るようになっている。
(4)でいきなりx^2 e^xの積分をすることになって、部分積分が不安になってしっかり検算した。

2も40分で終了、残りは70分だ。
しかもこの行列はそこそこ出る形で、前日に「大学院への数学」でやったばかり。ツイてるぜ。
(1)は昨日の記憶から「どうせ固有値と固有ベクトルこれだったよな」と余白に書いてから、
λ-aをひとまとまりと見て3次式を因数分解。うん合ってるね。
(2)。6時行列の固有値を求める問題なので、愚直にやると6次方程式を解かなければいけない!!
大学院への数学にこんな時使えるような公式があったような……気がしたけど……
前日にちょっと見ただけだからかなりうろ覚えだ。
うーん、無理して使うよりも良い方法ないかな?
……そうだ、(1)で出した固有値ベクトルを2つ並べたものは(2)の固有ベクトルになるぞ。
あと3つは?後半だけ-1倍すれば条件を満たすじゃないか。
これで固有ベクトルは全て求まった。
固有値が違うことから線形独立性は言える。これで文句なかろう。
天下り的に「x1はBにかけるとちょうど×倍になったから固有ベクトルである。x2は……」と
x6まで固有ベクトルを挙げた。
a,bの値の条件から全ての固有値が異なることをかなりしつこく書いて終了。
我ながら上手く機転がきいてたと思う。

(3)はB^nの(1,1)要素を求める問題(n=1,2,3)に等しいので雑作はない。
(4)。奇数の時に0なのは明らか。偶数のときは……
行列Aを「要素が全て1の行列P」と単位行列Eで表すと2P+E。PとEは可換だからA^nは二項定理で展開可能。
P^nもすぐに出せるので……あとは
二項定理の計算を危うく間違いそうになりネチネチと式変形を書く。
俺は昔から式変形や導出過程はなるべく省略せずに分かりやすく書こうとする人です。
(3)に2と3を代入した値にも一致。恐らくOKだ。


全部解いた段階で残り時間は15分。55分で1を解いた計算になる。
周囲の受験生を威圧するために突っ伏して寝てやろうかとも思ったが、見直しのほうが大事だろう。
1,3は大丈夫そうだ。残りは2の微分方程式か。
2階微分方程式で2個積分定数が出てきてるから、それは良い。
特解は導出過程を見る限り大丈夫。まさか変数分離形の微分方程式をミスったということはあるまい。
1個目の積分定数の部分も、(2)の結果からx^(-1)を代入すると右辺が0になるのは明らかだ。
残っているのは2個目の積分定数部分の正しさだ。部分積分は一度微分して確認したが……
念のため、出た解を代入して右辺が0になることを確かめてみよう。
検算は誰に見せる必要もない。係数だけを書く略記法でさっさと終わらせ……て……あれ??
計算が合わない。
なんてこったい。えーと、間違いは……
あ、答案に書いた答えと微妙に違う関数を代入して検算してるじゃねーか!
これに気づいたのが終了1分前で、検算し直そうとしたものの時間が足りず終了。
ま、まぁ答案には正答が書いてあるから大丈夫だよね。

院試1日目はこんな感じでした。
うちの専攻は2つの教室に別れていたが、もう一方の教室では試験時間の半分程度で
全問解ききった奴がいるとかいないとか。まったく恐ろしい話だ。
  1. 2010/08/31(火) 23:47:35|
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